Plus que les suites, les séries sont amusantes. La
série est la somme d’une suite infinie.
Sn = Sp=0
p=n(up).
Elle converge si Sn tend vers une limite quand n
tend vers l’infini. Il est nécessaire que up tende vers 0, mais ce n’est pas
suffisant.
La série, dite série harmonique, (1/n) diverge, mais Sp=1 p=n (1/n) – Log( n ) tend
vers une limite, la constante d’Euler g = 0,577…
La série alternée simple Sp=1
p=n [(-1)p/(p)] converge vers Log2.
La série alternée Sp=1 p=n [(-1)p/(2k+1)]
= 1-1/3+1/5-1/7+1/9- …. converge elle vers p/4.
Ne cherchez pas à comprendre, mais si vous voulez calculer p de cette façon, il vous faudra calculer des
milliers de termes pour obtenir 2 décimales exactes.
Pour savoir si une série converge, c’est en général
compliqué. On peut utiliser :
-
le critère de d’Alembert : si Un+1/Un
tend vers L plus petit que 1, la série converge. Mais attention, L doit être strictement
plus petit que 1.
-
Le critère de Cauchy : si racine nième
de un tend vers L plus petit que 1, la série converge. Même restriction que précédemment.
-
Le critère de Riemann : si up ~ A/na , alors la série converge si a est strictement plus grand que 1.
Autre série simple : S(1/n2)
= p2/6 ; S(1/n4)= p4/90 . On ne connaît pas encore la valeur des
sommes des séries pour les exposants impairs : vous pouvez essayer.
S(1/n!)= e le nombre
d'Euler, tel que Log(e)= 1.
Bien entendu, on peut faire des séries avec des fonctions d’une
inconnue.
Cos(x) = 1+
x2/2+ …+ x2n/(2n) !+…
Arcsin(x) = x+ (1.x3)/2.3)+… + (1.3.5… (2n-1)) .x2n+1/(2.4.6…2n)+…
Avec tout ça, on fait beaucoup de chose. De plus toute
fonction périodique, même non dérivable, peut se mettre sous la forme f(x) = S (an cos(x/2T) + bn sin(x/2T). Merci au
glorieux Fourrier pour cela !
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